同学们大家好~

如果你是一名初三的学生,那么你应该对抛物线这三个字很熟悉了。

我们曾经定义的是:二次函数y=ax方+bx+c(a不等于0)的图像叫做抛物线。也就是这样:

但是,你见过这样的抛物线吗?

当然,它已经不再是二次函数。

实际上,抛物线是由满足某种性质的所有点组成的一条曲线。而这个性质就是:到一个定点F和一条不过F的直线L距离相等。

下面我们理解一下这个定义。也就是说,我们首先在平面内画一个点F和一条直线L,然后我们再找到一个点P,使它满足上述性质。先说这个点P到F的距离,属于点到点的距离,也就是PF的长度;而P到直线L的距离,属于点到直线的距离,那我们就过P作PH垂直直线L于H,也就是PH的长度。然后,再让这俩距离PF和PH相等,满足这样性质的点,全部放在一起,就形成了一条曲线:抛物线。

顺便我们定义一下,这个定点F叫做这条抛物线的焦点,而这条定直线L叫做抛物线的准线。

然后按照我们的习惯,我们将抛物线放在平面直角坐标系中。我们先将它的位置特殊化,使它的顶点是原点O。

先来研究我们最熟悉的一种,抛物线开口向上。如果显得更专业一点的话,就是焦点在y轴正半轴的抛物线。

上图:

焦点在y轴正半轴

那用图像只能描述抛物线的一小部分,我们通过二次函数的学习就应该能感受到,抛物线是可以向两边无限延伸的,也就是说,抛物线上的点有无穷多组,那么我们要想表示它的全貌就不能用几何的图像来描述了,而需要一种新的表示方法,它类似于我们学过的解析式,但这里我们更习惯于把它们叫做方程。

这是一个二元方程,它的解我们可以用大括号x=多少 y=多少这样表示,但是如果把它放到平面直角坐标系中,它的解实际上就是一个点的坐标。x是点的横坐标,而y是点的纵坐标。而如果满足这个方程的所有点合在一起是一条抛物线,同时这条抛物线上的所有点如果都满足这个方程,那么我们就成这条曲线的方程就是那个二元方程。这个方程就像是一条曲线的名字一样。

其实我们曾经学过的解析式,比如y=x也是一种方程,当然,它和x-y=0是一个意思,都可以表示一条直线。

为了方便研究,我们把直线L与y轴交点设为K,设FK=p。那如果你理解我上面说的意思了,就自己试着推一下它的方程;如果你没理解,那就接着往下读,我们一起推。

先来分析,求抛物线的方程,实际上就是在求抛物线上的点的坐标满足什么方程。因此我们需要先设抛物线上任意一点P(x,y),只要找到含x,y的方程就可以了。

然后,我们就要根据抛物线的定义,可以知道线段PF=PH。而PF我们的长该怎么用含有x,y的代数式表示呢?我们可以用两点坐标公式。那这也就需要F点的坐标,由于我们设FK=p,O又在抛物线上,因此根据定义肯定有OF=OK=|p/2|,所以得出F坐标(0,p/2)与‬K(0,-p/2)。这样我们就可以表示PF了。然后是PH,PH就‬很好‬表示了‬,就是‬P到‬直线‬L的‬距离‬嘛‬,由于‬K(0,-p/2),所以‬L的‬方程‬就是‬y=-p/2,所以‬PH也就是‬|y-(-p/2)|。这样‬我们‬把‬PH也‬搞定了‬。最后‬,再‬由‬这两个‬式‬子‬相等‬,化简‬,就可以‬得到‬方程了‬。


我的过程

那么,由此,我们就得出来焦点在y轴正半轴的抛物线的方程,为了区别于其它形式的方程,我们把刚才得出的这个方程叫做标准方程。


以上是焦点在y轴正半轴的抛物线的标准方程的推导过程,那焦点在y轴负半轴呢?x正半轴呢?x轴负半轴呢?跟刚才是一样的道理,我就不给大家推了,直接给结论:

  1. 焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程:x方=2py
  2. 焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程:x方=-2py
  3. 焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程:y方=2px
  4. 焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程:y方=-2px(p为‬焦点‬到‬准线‬的‬距离‬)

因此,我们可以看出,抛物线的标准方程实际上是由焦点‬到‬准线‬的‬距离p以及‬焦点‬的‬位置‬决定‬。


作业:(答案文末)



昨天作业答案:


今天作业答案:ADB


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