2月11日，美国数学家、MIT数学系英休学院教授理事辛格也去世，享年96岁。辛格是当代最杰出的数学家之一，是与最著名的职业英国数学家阿提亚合作发现并证明的指标定理。李杰用纯数学领域的分析、几何、拓扑搭建了桥梁，由此统一了物理学的杨-米尔斯理论和拓扑的纤维丛理论，成为当今数学和理论物理学融合的基础。当然，辛格也受到了很多数学人的影响和启发，追求其思想脉络，见证了20世纪后期数学和物理学的伟业。这篇文章将带领我们以手段追忆这一代“歌王”。写作|郑九(美国南美西锡皮大学数学系教授)
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董事也是辛格(Isadore Singer，1924-2021)图源：MIT
美国时间2月11日迎来中国农历宋年，MIT数学系的英休“学院教授”董事ISADORE Singer(ISADORE SINGER，1924-2021年)去世，他的英语姓氏“SINGER”的基本含义。数学爱好者对他的感激和思念将和声乐爱好者对帕瓦罗蒂(Luciano Pavarotti，1936-2007)的感激和思念一样强烈。一个月前，我度过了几个晚上的睡前时间，重读了秋成东教授篡夺的陈成信(1911-2004)老师80岁庆祝文集的大部分文章。其中还包括辛格教授特别写的。在三页的短文中，辛格回顾了1949年芝加哥大学数学系撰写博士论文时，刚刚由系主任斯通(Marshall Stone，1903-1989)教授为数学和正教授执教的陈诚为研究生开设的几何课程。充满了教室里整个微分几何的思想和方法。
辛格出生在从波兰移民到美国密歇根州汽车城底特律的犹太家庭。但与他那一代神童不同的是，他后来的MIT同事维纳(Nobert Wiener，1894-1964)这样的父亲是语言天赋卓越的哈佛大学斯拉夫语教授，辛格的父亲是印刷工。据说，来到北美新大陆后，语言适应能力非常弱，英语是和出生后进步很快的聪明儿子一起学的。辛格和比他小6岁的本州居民后来在加州大学伯克利分校度过了4年的拓扑学家斯梅尔(Stephen Smale，1930-)一样，进入密歇根大学，但学了物理。两年半后，辛格于1944年初匆忙毕业，参加了第二次世界大战，作为美国陆军雷达技术员驻扎在菲律宾。但是当时辛格完成了两个现代物理学课程——量子力学和相对论。但是他认为自己可以做主题，但因为数学基础不足，所以没有真正理解它们。战争结束后，为了更好地掌握他没来得及学的相对论和量子力学，辛格忙于白天战时的紧张局势，晚上参加了芝加哥大学提供的两个通信课程，全力修完了抽象数学。一个是微分几何，另一个是近世代数。这很合他的口味。那时他只是把数学作为未来物理深造的工具，并没有把它当成一辈子的职业。
很多数学家和科学家都有类似的经历。一开始他们对自己真正的兴趣还没有察觉，但随着知识的深化和阅历的扩大，他们很快就对某一个学科有了感觉，对自己的兴趣和才能的开始有很多。并且立下雄心壮志，决心守护一辈子。例如，去年也是高龄去世的戴森(Freeman Dyson，1923-2020年)教授，20世纪40年代初进入英国剑桥大学时，首先是迪拉克(Dirac)。 读了很多书后，发现自己的爱好在于实验物理学，一年后转到物理系，转到居里夫人唯一的华裔物理学博士舒思远(1908-2007年)，维娜最好的学生莱文森(Norman Levinson，1912-1975年)在MIT主修电气工程，直到1934年为止。 更有趣的“变化”的例子是我在密歇根州立大学获得博士学位时的学术顾问安宪略教授。他从台湾大学机械系毕业后，去密歇根州立大学机械工程系读研究生。但是他很快获得博士学位时发现，其工程知识的基础都是数学。
先把这些基础数学搞懂再说。于是他转往纽约大学柯朗数学科学研究所，念了个应用数学博士学位，最终又回到密歇根州立大学任教，但落脚数学系。这些例子说明，选择最合自己口味的学科容易成就自己。我当年读大学时，学校几乎不让学生转换专业，可能耽误了不少有某种天赋的大学新生的前程。如今，这种僵化的制度据说已经被打破，更适应了优质青年的成长。二战结束后，因函授课程而爱上芝加哥大学的辛格去了该校继续学习数学，1948年取得数学硕士学位。本来计划学一年数学后再回到本行物理的他，到了这个时候却改变了初衷，兴趣完全转到纯数学，认为它的美学价值高于物理学。于是他一不做二不休，投身于那年刚去芝加哥大学教书的另一个犹太人欧文·西格尔 (Irving Segal，1918-1998) 的门下，在其指导下两年后获得数学博士学位。他的博士论文标题是“无界算子的李代数”，属于泛函分析与抽象代数的交集。1998年导师去世，七年后在一次采访中，辛格回忆说：“他授课的方式是将学生训练成一名研究型数学家，并且他办公室的门永远对学生敞开，讨论数学，甚至到半夜三更。”所以辛格说“I learned a great deal”。西格尔出名很早，不到16岁就考进了普林斯顿大学数学系，三年后毕业，并获得奖励本系优秀学生的George B. Covington 奖；再过了三年，他在耶鲁大学的著名分析学家埃纳尔·希勒 (Einar Hille，1894-1980) 手中拿到博士证书。中国学习分析的数学研究生大概对希勒同别人合著的大书《泛函分析与半群》印象深刻。在希勒和西格尔两代分析高人的熏陶下，辛格那时的主要训练在微分方程和泛函分析。这些与物理关系密切的分析学领域，与他念本科时所醉心的量子力学息息相关。他训练有素的分析功底，加上他“幸运地”从陈省身教授那里学到的整体微分几何概念以及逐步掌握到的拓扑知识，为他后来一直活跃在分析和几何两大学科，并且于60年代初同英国杰出数学家阿蒂亚 (Michael Atiyah，1929-2019) 共同证明了关于椭圆型微分算子的指标定理，奠定了雄厚的基础。
我有幸于1994年的金秋10月参加了麻省理工学院纪念天才人物维纳冥诞100周年及逝世30周年的“维纳传奇百年研讨会”，亲眼目睹了几位数学大师的风采。记忆犹新的是当那年的菲尔兹奖获得者布尔甘 (Jean Bourgain，1954-2018) 做完报告后，已经退休的西格尔老教授宝刀不老，不停地质疑他一系列数学问题，其咄咄逼人的攻势几乎让对方招架不住。自然，辛格教授脸上那块与众不同的“胎记”也让我印象深刻，但他面对与会的俄罗斯人、普林斯顿大学数学教授西奈 (Yakov Sinai，1935-) 所表现出的彬彬有礼君子风范，留给我比对他的导师更难以磨灭的鲜明印象。
学了很多现代分析知识的辛格在其博士生阶段最后一年的时候，已经享誉国际数学界的中国数学家陈省身开始了他后来在芝加哥大学十年教书的生涯。陈先生1936年在德国汉堡大学的几何学家布拉施克 (Wilhelm Blaschke，1885-1962) 指导下获得博士学位后，随即游学巴黎大学一年，得到几何学大师嘉当 (Elie Cartan，1869-1951) 的真传。嘉当慧眼识珠，看上这位志向远大的东方好学青年，每隔一周在家里慷慨见他一面，毫无保留地亲授关于流形分析和活动标架的嘉氏独门武功，查询这位学生的研究进展并指出新的思路。按照陈先生晚年的回忆，学生离开后，老师还在继续思考他们讨论过的问题，第二天送来新的想法。这种指导，堪称典范。学生因抗战而回国后，他还不停寄上自己论文的预印本，给在中国西南联大恶劣生活环境下坚持学术研究的陈省身及时送上最佳数学食粮。钻研不止的陈省身真正读懂了嘉当那批晦涩难懂的文章，而那个时代绝大多数的欧美数学家却没能读懂，甚至忽视或怠慢了它们。这些现代几何学的先进思想和新颖方法极大地启发了这位中国人在艰苦的条件下做出了第一流的研究工作，如成为整体微分几何标志性记录的高斯-博内公式之内蕴证明，以及在现代数学各分支中到处有用的“陈示性类”，使得他很快成为世界数坛中令人瞩目的整体微分几何开路先锋。所以，当普林斯顿高等研究院的大数学家外尔 (Hermann Weyl，1885-1955) 教授于1948年底将陈省身从内战烽火中的中国邀请到那里访问后，仅仅过了半年，一心想把芝加哥大学数学系重新打造成北美学术重镇的系主任、分析与拓扑学家斯通，闯过了校方对长期雇佣华人教授犹豫不决的难关，一把将陈省身从美国的东海岸拉到密歇根湖湖畔的芝加哥，加入到不久前也被他挖去数学系的韦伊 (Andre Weil，1906-1998)、麦克莱恩 (Saunders Mac Lane，1909-2005) 以及辛格的博士论文导师西格尔等英雄豪杰的队伍当中。
陈省身将嘉当的思想和理论从法国出口到中国再进口到美国，是嘉当辉煌数学事业当之无愧的直系传人。杨振宁先生在他80年代初写的一首五言诗中的最后一句是“欧高黎嘉陈”，将他俩与伟大的欧拉 (Leonhard Euler，1707-1783)、高斯(Friedrich Gauss，1777-1855) 和黎曼 (Bernhard Riemann，1826-1866) 并列。陈省身在美国三十年教书生涯中正式开设的第一门微分几何课，让辛格和他的研究生伙伴们进入了微分几何的“大范围时代”。如果说杨振宁于1940年秋季在西南联大读大三时从陈省身的局部微分几何课中学到了经典知识，那么时隔九年辛格则是从同一个老师那里吸收了整体微分几何的现代养分。在这门“及时雨”式的课程里，陈省身强调了嘉当的微分流形工作以及标架丛的观点，介绍了他自己的两大成果：高斯-博内-陈定理和陈类。这些营养成分后来催生出杨振宁和辛格各自对物理领域的重大贡献。虽然陈省身并非辛格的博士论文指导老师，但在更广的意义下辛格的确是他的一名学生。
尽管辛格在回忆中谦称自己由于忙于博士论文写作，而只是“被动”地参与了同学们对陈教授课中几何新概念的热烈讨论，但在一年后辛格去麻省理工学院当被称为“摩尔讲师 (Moore Instructor) ”的博士后时，他成了陈省身几何新思想的积极传播者，原因之一是系里比他年长十岁的几何学家沃伦·安布罗斯 (Warren Ambrose，1914-1995) 教授和其他人热切地想通晓“现代微分几何”的最新发展。于是，在安布罗斯教授组织的讨论班上，年轻的辛格博士给大家上了一门课，用的教材就是他在陈省身教授班上的课堂笔记。过了几年，在这两个“中青年”数学家的强力推动下，麻省理工学院的纯数学研究上了一个新台阶，尤其在几何方面成了除了芝加哥大学之外的美国数学中心。他们也训练出了一批新生的几何学家，其中的一个就是著名的以数学模型挂帅的金融投资大王詹姆斯·西蒙斯 (James Simons，1938-)。
麻省理工学院数学系的临时教职“摩尔讲师”，可不是一般意义下的“讲师”，而是相当于“博士后”的一种位置，世界各地新出炉的数学博士很难得到，它已经成了一种学术荣誉。辛格对本系的“摩尔讲师”制赞不绝口。它起始于1948年，比辛格迟一年获此教职的是传奇数学天才纳什 (John Nash Jr.，1928-2015) ，他后来在上世纪90年代因获得诺贝尔经济学奖以及接踵而至讲述他故事的《美丽心灵》传记及电影而在全世界家喻户晓。我在密歇根州立大学念博士时教过我《高等泛函分析》一学年课程的阿克斯拉（Sheldon Axler，1949-）教授（在这个意义下我也是他的学生，就像辛格是陈省身的学生一样），在担任摩尔讲师的两年间获得校级的“杰出教学奖”。辛格回忆起，在庆祝“摩尔讲师”制实施50周年的那场庆典中，他见到许多昔日讲师今日成为国际主要数学奖的得主和美国数学会的会长。他甚至认为这个独特的体制是麻省理工学院数学系从50年代起开步走向辉煌的重要因素之一。因为它让全世界具有不同数学背景和文化的最优秀年轻博士聚在这里，承担减少一半或三分之一的教学工作，在资深教授的指点下，通过举办众多数学前沿领域讨论班的实践，强化了与教授们的互动互学，营造出极其活跃的研究氛围。
2016年初，我因帮助一家学术出版社审阅了一本书稿的计划书，为了感谢我的辛苦劳作，编辑让我挑选价值150美元的礼品书籍。在出版社的书单中，我第一眼就挑出一本。在当年暮春初夏，我从头到尾通读了这本450页、出版于2009年的英文口述历史书，书名是 Recountings: Conversations with MIT Mathematicians（《回顾 ：与麻省理工学院数学家交谈录》）。该书编者的父亲塞格尔 (Lee A. Segel，1932-2005) 是也当过“学院教授”的杰出华人应用数学家林家翘 (1916-2013) 先生于1959年在那里带出的博士。由于这层关系，他对麻省理工学院数学系的一打资深教授进行了深入采访，出版成书，辛格教授自然也在其中。辛格向采访人重点描述了他在那里第一年的有趣故事。在此我转述他刚到校园的第一天经历。
那天是1950年7月初的一天。当辛格走进数学系楼后，在系主任办公室向秘书自我介绍时，一位坐在秘书对面读报的家伙放低报纸，冲头对他来了一句：“辛格，我是安布罗斯。五分钟后有个关于李群的报告。咱们一起去。”辛格回答道：“但是——但是我必须见马丁（系主任）教授。”对方却说：“那个能等，等会再见他！让我们听报告去。”报告后安布罗斯把他带回系主任办公室报到，说“今晚半夜在城里的咖啡店见。11点30我来接你？”凌晨两点安布罗斯把他送回住处。55年后的辛格回忆到他那时刻的心情：“我感到麻省理工学院是我的新家，安布罗斯和我则成了密友。”这两个精力无穷的好友和同事，加上像列文森及怀海德 (George Whitehead，1918-2004) 等几个关键人物，在上个世纪的下半叶帮助麻省理工学院建成为世界上最强大的数学系之一。
辛格最有名的数学工作当推他1963年与英国数学家阿蒂亚发表的“指标定理”，现在以他们的名字冠名。这个定理是20世纪的一项里程碑之作，因为它的意义在于建立了分析、几何和拓扑之间联系的一座重要桥梁。他们两人因此共同的杰作而分享了2004年的阿贝尔奖，这是被称为“数学诺贝尔奖”的该奖项自从2003年首次颁发后直到目前为止仅有的三次“双人获奖”之一。他们被选中和1957年李政道与杨振宁被诺贝尔物理学奖选中一样必须是“双赢”，因为被奖的伟大工作都是双人珠联璧合之作。阿蒂亚的数学兴趣很广，贡献良多，名气很大，但主要是个几何学家，而分析和微分方程是辛格的过硬本领。他们约60年前的强强联手，得益于辛格在1961-1962那个学年度学术假，在春季学期对阿蒂亚任教的牛津大学的访问，以及阿蒂亚对他提出的一个数学问题。在2005年的谈访中，辛格对他和阿蒂亚之间的几句对话记忆犹新。
这一次的学术访问，时间在1962年元月，是他到达牛津校园的第二天，地点是他的小办公室。当访问者正在拆包准备工作时，主人到了，看看他在做什么研究。阿蒂亚劈头来了一句问话：“为什么自旋流形的A-亏格是个整数？”A-亏格在物理上有个响当当的名字：狄拉克亏格，这也反映出指标定理的导火线是从与数学近距离的物理学那里点燃的。辛格好生奇怪，作为有名拓扑学家的阿蒂亚居然问起这个答案似乎很显然的拓扑学问题，好像是美国的高中数学老师在问“一元二次方程的解公式是什么？”于是他回应道：“迈克，你知道证明。但你为何问我这个问题？”对方只是说道：“有深层原因。”对这个深层原因的共同挖掘，他们挖出了百年未见天日的天下最有名指标定理。阿蒂亚的一句提问竟让辛格暂时放下一篇数学长文的写作，专心思考它。两个月后他感觉可以回答阿蒂亚的问题了，突破口在于用分析来处理黎曼自旋流形上的推广狄拉克算子。他们很快猜出了“指标公式”，并在9月份证明了这个公式，于是一个里程碑式定理横空出世。
指标(index)是个常见的名词。中国的学术界几十年来对它熟悉得不能再熟悉了，因为全国各大学为之顶礼膜拜的所谓“SCI论文”中的那三个英文字母，就是词组Science Citation Index（科学引用指标）的简写。即便在数学王国里，指标的身影也到处可见。比如在泛函分析里有弗莱德霍尔姆 (Erik Fredholm，1866-1927) 算子的指标；在拓扑学里有不动点指标；在大范围分析里有临界点的莫尔斯 (Marston Morse，1892-1977) 指标；在动力系统里有康利 (Charles Conley，1933-1984) 指标，等等，可以说是多如牛毛。古希腊毕达哥拉斯学派称“万物皆（整）数”。各种指标也不例外，以整数为值，重要性无比。对任意一个多面体，也有连幼儿园孩子都可以数得出来的一项“指标”，即多面体的“点数加上面数再减去棱数”，但有趣的是这个重要的整数拓扑不变量学名叫“欧拉示性数”。阿蒂亚-辛格指标定理，用一点点专业术语概而括之，就是“定义在紧流形上的线性椭圆微分算子，它的解析指标等于拓扑指标”。等式左右两端分属分析拓扑，故等号可以形象化地放大成连接两个数学分支的一座钢铁大桥。这个指标之所以强大，原因之一是许多早先发现的大定理都是它的“特殊情形”，包括前面提到的高斯-博内-陈定理。物理学家们一直在寻找对自然界规律可以“包罗万象”的统一理论，但是迄今未果。然而阿蒂亚-辛格指标定理，从某个角度来看，却成功地包罗了一大批数学定理。难怪第二届阿贝尔奖当之无愧地授予他俩。
上世纪70、80年代，阿蒂亚-辛格指标定理在数学界风靡一时，备受宠爱，数学家们掀起了一股了解它学习它的热潮。一般而言，在数学教授中，“偏科”现象相当普遍。绝大多数人只在他们自家的田野里辛勤耕作，而对篱笆外部的世界知之不多。所以分析数学的行家里手可能对拓扑术语略感陌生，几何拓扑的顶尖高人可能对泛函分析颇为生疏。像庞加莱 (Henri Poincare，1854-1912)、希尔伯特 (David Hilbert，1862-1943) 以及冯·诺伊曼 (John von Neumann，1903-1957)那样的“全能数学家”成了凤毛麟角。不断吸收新知识是增强创造性思维的一个好途径。我在跟随李天岩 (1945-2020) 教授读应用数学博士学位期间，系里几个研究做得风生水起的几何与拓扑教授以及他们的弟子，特地组织了一个阿蒂亚-辛格指标定理讨论班，把我这个“非几何拓扑科班出身”但对纯数学还感兴趣的研究生也吸引了过去。我没忘记，有一次我在讨论班上正确回答了演讲者的一个问题，令在场的一位和我老板一样挂着“大学杰出教授”头衔的拓扑学家颇为惊讶，转过头来注视着我好一阵子，那个神态仿佛是在纳闷“哪里来的小子，也知道这个东西？”我对阿蒂亚-辛格指标定理的点滴认识，是来自那两个月讨论班的额外收获。
不仅数学家们对辛格感激涕零，理论物理学家也对他感恩戴德，因为他和杨振宁的一次交往导致杨-米尔斯理论进入了数学家的视野。规范场的概念于1918年由德国数学家外尔提出，用于电磁场的不变性，但他的理论没有得到爱因斯坦的青睐。1954年即外尔去世的前一年，杨振宁和米尔斯 (Robert Mills，1927-1999)将他的理论修改并且处理了“非阿贝尔”的情形，所得到的非线性偏微分方程是电磁学中麦克斯韦 (James Maxwell，1831-1879) 方程组的推广。顺便一提，米尔斯比费曼迟九年获得美国大学生普特南数学竞赛的“Putnam Fellow”称号，即打入了个人成绩前五名，所以他和杨振宁一样都是数学家的料子。但是杨-米尔斯方程在二十年内并没有引起数学家们的足够关注，即使60年代后也仅仅在一部分理论物理学家中流通。到了1975年，杨振宁先生通过他的数学家同事、和陈省身亦师亦友并共同提出陈-西蒙斯理论的西蒙斯，对纤维丛的数学概念有了充分的理解，并着迷于他的规范场公式与黎曼几何中的一个公式在形式上的惊人相似之处。于是他和自己曾经的“编外弟子”、哈佛大学的物理学家吴大峻 (1933-) 在那一年发表了一篇三页短文Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields（《不可积相因子概念与规范场的整体表述》），其中他们列出一张对照清单，表格的左半边为规范场术语，右半边为纤维丛术语。正是这篇论文，点燃了辛格从已献身四分之一世纪之久的纯数学华丽转身到大学时代初恋情人物理学的火焰。
那是在1976年夏天，应昔日所教学生西蒙斯的邀请，辛格去了石溪大学（当时叫纽约州立大学石溪分校）数学系访问，其时系主任西蒙斯安排了老师与本校的爱因斯坦教授及理论物理研究所所长杨振宁会晤。杨教授向来宾介绍了他和吴大峻的上述文章。数学眼光犀利的辛格一下子就被这张“数学-物理联络图”吸引住了，而该对照表中右边恰好有一项“主纤维丛上的联络”，对应着左边的“规范势”。同年秋天，辛格又去访问老搭档阿蒂亚，向他转述了吴-杨的工作。他俩和阿蒂亚四年前带出的博士希钦 (Nigel Hitchin，1946-) 三人合写的、于1977年4月在数学家同行中开始广泛传播的著名文章Deformations of instantons（瞬子的变形），直接运用阿蒂亚-辛格指标定理，发现了杨-米尔斯方程的自对偶解。这篇文章引发了数学界对杨-米尔斯方程研究的一股浪潮，至今尚未消退。
同一篇文章也重新激发了辛格对自己老本行的挚爱。借用他十年后为一场演讲写下的回忆稿，他说，1947年转入芝加哥大学数学系读研究生，“30年后，我发觉自己在牛津大学讲规范场理论。这件事起始于吴大峻和杨振宁的一张对照表，结果是得到了瞬子，即杨-米尔斯方程的自对偶解。做了30年的数学，我似乎又回到物理学了。”近代理论物理学越来越离不开现代纯粹数学这一强大的工具。自从爱因斯坦向他的数学家同学兼好友格罗斯曼 (Marcel Grossmann，1878-1936) 借了笔记，重温了之前因旷课而没能学好的黎曼几何并用于他的广义相对论，数学在理论物理的领域一直起着关键性的作用。反过来，它也被物理中的核心问题推动发展。几十年来，除了杨-米尔斯理论与纤维丛理论、阿蒂亚-辛格指标定理及低维拓扑等相互影响外，试图统一自然界四种基本作用力的超弦理论与几何学中的卡拉比-丘流形、凝聚态物理中的量子纠缠与属于抽象代数的范畴论等，揭示出当今数学与物理之间的进一步融合。
辛格教授走完了他漫长而优美的一生。他不仅给学术界留下一系列极富创造性的数学定理，而且也为后来者留下怎样做数学的指导思想。我既无能力也无资格在这里总结他属于数学文化的重要遗产，但是我领会到他的数学生涯带给我们的一个启示是：要在科学事业上有所作为，对多学科知识的积极吸收与融会贯通绝对是一个出奇制胜的法宝。
写于2021年2月28日星期日
美国哈蒂斯堡居所夏日山庄
致谢：作者感谢香港的陈关荣教授和瑞典的范明教授对文章的润色修改。