表示的最大值为7,14显然已经超过了最大值，所以我们在将14转换成二进制时，一定会发生溢出，发生溢出后，我们把最高位舍弃，即得到了二进制的补码。14转换成二进制为 01110，那我们最高位的0舍弃，即1110，所以，-2的二进制补码为-6。

那么我们再来算下5+（-6）的结果

0101

1110

--------

10011

这时候我们发现发生了高位溢出，那我们再把最高位舍弃，即0011，结果为3，这时候的结果就是正确的了。

那么现在的问题来了，我们如何计算任意一个负数对于的补码呢？

首先我们说正数，因为补码主要是为了负数计算不准确的问题，但是对于正数来说，计算永远都是准确的。所以正数可以不用计算补码，直接做运算。我们也可以理解为正数的反码和补码都和原码保持一致。那么下面说的所有关于补码的运算，都是针对与负数来说。

我们先来定义几个变量：

S1 = 二进制能表示的范围的数量

S原码10 = 十进制原码

S原码10_符号 = 十进制原码符号位

S原码10_数值= 十进制原码数值位

S补码10 = 十进制补码

S补码10_符号 = 十进制补码符号位

S补码10_数值 = 十进制补码数值位

S原码2 = 二进制原码

S原码2_符号 = 二进制原码符号位

S原码2_数值= 二进制原码数值位

S补码2 = 二进制补码

S补码2_符号 = 二进制补码符号位

S补码2_数值 = 二进制补码数值位

从时钟的原理我们可以知道，S补码10=S1 -S原码10_数值。那么S1 怎么算呢？由上文我们可以知道，二进制能表示的正数的数量和能表示的负数的数量相同，我们我们只需计算能表示的正数的数量，在乘以2，就是整个二进制能表示的数的数量。那对于正数来说，能表示的最小的正数为0，能表示的最大的正数为2^（n-1）-1，所以，能表示的正数的数量 = 2^（n-1）-1 + 1 = 2^（n-1），所以S1=2^（n-1）* 2 = 2^n。所以，S补码10=S1 -S原码10_数值 = 2^n - S原码10_数值。

现在，S补码10已经计算出来了，我们在来计算S补码2，首先我们来计算一下S补码2_符号：

因为S原码10_数值的最大是为 2^（n-1）-1，所以S补码10的最小值=2^n-2^（n-1）+1=2^（n-1） + 1，它一定大于2^（n-1）-1。即S补码10，一定会大于二进制能表示的最大值，所以转换为二进制时，一定会发生溢出，并且次高位为1，溢出后，我们把最高位舍弃，这时，次高位就成了符号位，因为此时次高位为1，所以S补码2_符号一定为负数。

下面我们在来计算一下S补码2_数值：

由上文，我们知道，S补码10= 2^n - S原码10_数值，所以，S补码2_数值=2^n - S原码2_数值=2^0+2^1+2^2+......+2^n-1 + 1 - S原码2_数值 = （2^0+2^1+2^2+......+2^n-1 - S原码2_数值）+ 1 。

此时，我们可以认为2^0+2^1+2^2+......+2^n-1，相当于二进制的每一位都是1，那么它减去S原码2_数值时，就相当于对S原码2_数值的每一位都取反，即得到S原码2_数值的反码。所以，S补码2_数值 = S原码2_数值的反码 + 1。

所以，这也就证明了前面的结论：

对于负数来讲，

反码：符号位不变，数值位的每一位做按位取反

补码：对反码的值+1

• 补码还可以解决二进制中0的问题以及int类型为什么可以表示-2^31

我们还是拿一个4位的二进制来举例：4位二进制能表示的负数的范围为：1111至1000，即-7到-0，而位二进制能表示的负数的范围为：0000至0111，就0至7，这时我们发现，出现了两个0，一个是1000，一个是0000，这显然是不行的。

通过上面我们知道，负数的反码是数值位不变，然后数值位按位取反，那么负数的反码可以表示的范围也是1000至1111，而补码是在反码的基础上+1，所以补码可以表示的范围为：1001至1111+1，就-1到-8。所以，通过补码，就完美的解决了这个问题。而int类型为什么可以表示-2^31这个问题，也同时就解释清楚了。

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作者介绍：

贠学文，具有多年经验的java开发工程师，业余时间利用头条分享技术知识点与自己对技术的感悟，帮助对自己未来感到迷茫的程序员，在技术上得到提升。结识一些志同道合的朋友，相互促进，共同进步。