1、投影公式

投影公式是立体几何中的重要概念，它能够帮助我们计算出一个立体体形在不同平面上的投影。在实际生活中，投影公式也广泛应用于建筑、机械工程等领域。

我们来看一下投影的概念。在几何学上，投影是指一个点或一个图形在平面上的投射。在一个三维空间中，我们可以选择一个平面将一个立体图形投影到平面上，这个平面就被称为“投影面”。按照投影面的不同位置，我们可以得到不同的投影形状。

接下来，我们要介绍的是投影公式。假设我们有一个三维立体图形，其中的一个点A在平面上的投影是P，设把A点沿x，y，z三轴的三个正半轴做垂线分别交平面于P'、P''、P'''，它们分别是P在x、y、z三轴上的投影。那么，点A的投影P到平面上的坐标分别为：

Px = Ax

Py = Ay

Pz = 0

如果我们要求直线在平面上的投影，我们可以使用相似三角形以及距离公式来计算。我们将直线所在的平面和投影平面合二为一，这样投影直线就成为了我们的目标线。我们可以将目标线与投影平面的交点设为B、C，将目标线上的任意一点设为A，则我们可以通过相似三角形可以求出像比：

BP / AB = CP / AC = BP / AP = DP / AD

其中DP表示点D到投影平面的距离。由于AB、AC和DP是已知的，因此我们可以通过像比来求出BP和CP，也就是点B和点C在平面上的坐标。

除此之外，我们还可以利用投影公式来计算三角形、四面体等立体图形在平面上的投影。这其中，最常用的是三视图投影，将立体图形在三个不同平面上进行投影，得到它在平面上的正视图、俯视图和左视图，从而整个立体体形就被投影成了一个平面上的几何图形。

投影公式在立体几何中是一个十分有用的工具，可以帮助我们计算出一个立体体形在不同平面上的投影，也可以应用于其他领域中的计算与设计之中。

2、a在b方向上的投影向量怎么求

在解决一些向量问题中，我们经常需要求解一个向量在另一个向量方向上的投影。这个过程中，我们需要理解什么是向量的投影，以及如何求得它。

简单来说，向量a在向量b的方向上的投影是它在b上的投影向量，记作projb a。这个向量是标量倍数k乘以向量b，其中k可以表示为以下公式：

k = (a · b) / (b · b)

其中“·”表示点积。通过这个公式我们可以快速地求解出一个向量在另一个向量方向上的投影向量的大小，以及它在这个方向上的方向。

具体来说，如果我们想要求向量a在向量b上的投影向量，那么我们可以先计算出它们的点积。点积的结果是一个标量（也称为数量积），表示两个向量之间的相似程度。然后我们再计算出b向量的范数的平方，即b·b。通过上述公式，我们就可以计算出向量a在向量b方向上的投影向量的大小和方向。

需要注意的是，如果向量b的长度为0，那么上述公式将无法计算，因为我们不能将一个向量投影到一个不存在的方向上。此外，如果向量b的长度非常小，那么它的投影向量也会非常小，这可能导致影响计算的精度。因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的数值解决这些问题。

向量的投影在许多领域中都有重要的应用，例如物理学、计算机图形学、数据分析等。通过了解向量的投影的概念和方法，可以更好地理解和解决这些应用中遇到的问题。