1、正三棱锥的高怎么求
正三棱锥的高怎么求
正三棱锥是一种特殊的几何体，其底面是一个等边三角形，侧面也是等腰三角形，具有对称美感。在计算正三棱锥的体积、表面积等问题时，需要先求出其高，这里我们来详细解析一下正三棱锥高的求法。
方法一：利用勾股定理与三角形的高
我们可以先将正三棱锥切割成三角形和三棱锥相组合的形态。如下图所示，平面ABE是正三棱锥底面上的等边三角形，点D是三棱锥顶点，令AD=h为正三棱锥的高，AE=l为底面上的一条边长，则DE是三角形ADE的高。
根据三角形ADE的勾股定理可知：$DE^{2}=AD^{2}-AE^{2}$
又因为AE=AB=AC，可以得到底面上这个等边三角形内角$\angle BAC$的正弦值为：$sin\angle BAC = \frac{AE}{AB}=\frac{l}{2l}=\frac{1}{2}$
由此可得：$DE=AD\cdot sin\angle BAC=h\cdot \frac{1}{2}=\frac{h}{2}$
于是就可以利用勾股定理，求得正三棱锥的高为：$h=2DE=2\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=2\sqrt{l^{2}-\frac{1}{4}l^{2}}=l\sqrt{3}$
方法二：利用正四面体的高
还可以利用正四面体来求正三棱锥的高。在正四面体ABCDEFG中，四面体的顶点A、B、C、D分别连接底面BCD、ACD、ABD、ABC的重心G1、G2、G3、G4，得到四个正三角形，如下图所示。
从顶点D到三角形G1G2G3G4的共面区域的中心O画垂线OD，则OD即为正四面体的高。
容易发现，正三棱锥与正四面体的共顶点都在D处，底面的形状也类似，只是正三棱锥与正四面体的高不同。因此，在正四面体中，底面为正三角形的正三棱锥的高就等于正四面体的高。
正四面体的高可以通过以下公式计算：$OH=\frac{\sqrt{2}}{3}HG$
其中HG为正四面体的重心G到底面的距离，可以通过向量的方法求解。
因为正三角形的高和边长的关系为：$h=\frac{\sqrt{3}}{2}l$，所以正三棱锥的高即为：$OH=\frac{\sqrt{2}}{3}HG=\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}l=\frac{\sqrt{6}}{6}l$
综上所述，利用勾股定理与三角形的高或利用正四面体的高，都可以求解正三棱锥的高。对于正三棱锥这种特殊的几何体，灵活运用不同的方法，进行求解，可以增强几何思维的能力。
2、正三棱锥的高怎么求边长都是2
正三棱锥是一种古老而美丽的几何体，它由一个正三角形的底面和三个等边三角形的侧面组成。对于正三棱锥的高和边长，我们可以通过数学方法进行计算。
我们需要明确正三棱锥的基本属性。正三棱锥的底面是一个正三角形，其边长为2。由于正三棱锥的三个侧面均为等边三角形，因此它们的边长也都是2。我们需要计算的是正三棱锥的高。
我们可以使用勾股定理来计算正三棱锥的高。由于正三棱锥的底面是一个正三角形，因此它的重心（质心）与垂心和外心重合。根据勾股定理，我们可以得到正三棱锥的高的平方等于底面中心到侧面中心的距离的平方加上底面半径的平方。底面半径等于正三角形边长的一半，即1。
我们需要计算底面中心到侧面中心的距离。由于正三棱锥的底面是正三角形，因此底面中心到三个顶点的距离相等，即2/3。同样地，由于正三棱锥的侧面是等边三角形，因此侧面中心到顶点的距离等于边长的一半，即1。
因此，底面中心到侧面中心的距离等于(2/3)^2 + 1 = 5/9。正三棱锥的高的平方等于(5/9)^2 + 1 = 61/81，因此正三棱锥的高等于根号61/9。
在计算正三棱锥的高时，我们可以使用勾股定理和几何中心的属性来计算。这种方法可以扩展到其他几何体，在解决实际问题中很有用。正三棱锥的高为根号61/9，是一个十分优美的数值，也反映了几何学之美。