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时间:2023-04-05 14:28:29 阅读: 评论: 作者:佚名

换个姿势学数学系列, 第 Meet00 篇

▌指数级增长

‖经济的高速增长

经常在新闻上看到这种说法,感觉就是快,但是和指数有什么关系呢?

在经济发展良好的时候,我国GDP平均涨10%左右。假设一开始的GDP是 a ,则第二年,就是 a×1.1,第三年就是 a×1.1×1.1。改革开放40周年,都这么增长的话,也就是 a)^40。

‖从指数增长看改革开放伟大成就

明明也就是每年增长百分之 10 而已嘛,100 块过了一年才变成 110 块,好像也多买不了什么东西啊。一开始的确感觉速度一般,但是看起来很小的一个数,只要是以指数形式进行增长,那么最后的结果一定是非常恐怖的。

可以对照函数图像看一下,在最初的时候就会给人“好像没有怎么增长”的错觉,因为图像非常的平缓。但是只要给短短的一段时间,整个函数图像的斜率就会疯狂的增加,以至于几乎垂直。

对于这种增长,我们俗人叫做“利滚利”或者“驴打滚”,经济学上叫做“复利效应”。

‖负增长

反过来,如果是负增长的话,从函数角度来看,也就是 0<a<1 。

是否能够进行指数爆炸性增长,关键性的因素是看底数 a 。这里我们可以用Geogebra做一个动图,展示一下。

从图上可以清楚的看到,如果负增长的话,那么很快这个值就逼近 0 了,经济就迅速萎缩。

‖数学不好的国王

还有一个经典的故事,讲的也是这个道理,

国王打算奖赏象棋的发明人。他对国王说:“请您在棋盘的第 1 个小格里,放 1 粒麦子,在第 2 个小格放 2 粒,以后每一小格都比前一小格加一倍。我想要这么多麦子”。国王觉得这要求太容易满足了,就同意了。当人们开始计数时,才发现把所有麦粒全拿来,也满足不了要求。

仅最后一格的数量就是 18446744073709551616 粒,举全国之力生产 500 年也无法办到的事情。

‖多啦A梦中的指数增长

动画片里也会拿这个作为题材,如果你看过哆啦A梦,大概会记得里面有个道具叫“倍增液”。

用上去之后,任何东西都会像细菌那样分裂,其实这也是指数增长。

大雄把倍增液滴到了栗子馒头上,后一个没吃完,回到家一看,满屋子都是这东西了。

▌对数是啥意思

‖对数是一种什么运算?

对数运算就是已知底数和幂数[1],计算指数;所以,对数和指数说的是一回事。

用幂运算表示就是这样:

,这也被称作“对数恒等式”。

可以看到,它的表示方法是

其中的 log 代表的就是对数运算(或者说对数函数),之所以用 log 是因为他的英文名叫做对数 logrithm。b 指的是底数,在对数函数里,这是一个常数;y 就是幂数,在对数函数中也叫做“真数”,是这个函数的参数。

‖为什么对数难理解?

对数在这里面是最特别的:从幂运算上的角度,对数函数的参数是幂运算的输出值。

刚刚谈到的幂函数和指数函数,分别是 x^a 和 a^x ,他们的参数和幂运算是一致的,所以怎么用怎么顺;而现在完全反过来了,所以怎么用怎么不顺。

对数 ― 一个让许多学生闻名丧胆的词。- 《普林斯顿微积分》

‖为什么 log() 是求指数的?

log 的参数是真数,这个好理解的,之所以它看着难懂,就是因为它和幂运算是反着的。

那么,log 函数的输出值到底是指数还是底数呢?

一定是指数。

因为求底数,不需要用这种特殊形式。比如,求以 2 为指数的 4 的底数,其实就是对

4 开方,而这个动作恰好就是幂运算本身 :√4 = 4^(½) 。

所以用不着这么麻烦,这种特殊形式一定是给求指数准备的咯。

‖梳理一下乱乱的名字

名字实在是太乱了,梳理一下非常有必要。以这个代数式为例 :

➣ 代数名称

c → 幂数&真数

a → 底数

b → 对数&指数&几次

➣ 运算名称

已知 a, b 求 c → a 的 b 次幂(方)

已知 a,c 求 b → 以 a 为底的 c 的对数

已知 b,c 求 a → 开 b 次方& a 的 1/b 次方(幂)

‖为什么对数不直接叫做指数?

这就和对数的实际应用有关了,下面马上我们就会谈到。

▌对数运算的规则

引入一个新的概念,最重要的事情就是制定兼容的运算规则。

对数运算(求指数)是幂运算的逆运算,之前我们已经谈过幂运算的规则了,那么这个也就非常简单了。

指数加法对应幂乘法,指数减法对应幂减法,指数乘法对应幂的幂,所以:

为了运算的方便,往往会使用以 10 为底的对数,所以

可以简写为 log N 或者 lg N,称为“常用对数”。

▌了不起的对数

对数是怎么来的?

其实“对数”这个概念比“指数”出来的还要早呢。

➣指数的发明有什么用处呢?

充其量就是少写一些数值,最极致的用处无非就是科学计数法了,那要少写多少 0 啊,真是太棒了。但对数更伟大,他的作用是把乘法运算变成加法。

➣为什么能做到这样呢?

仔细的看一下对数的运算规则,你就会懂了:化乘除为加减,化乘方开方为乘除,将高级运算降为次级运算。

最早使用这种方法来简化运算的是天文学家,因为要研究星体的运行轨道,需要进行大量的乘法计算,自从有了对数,大大提高了计算的效率。

对数用缩短计算时间在实效上让天文学家的寿命延长了许多倍。 - 法国大数学家拉普拉斯

‖乘法和加法之间的桥梁

可以说对数是连接乘法和加法的桥梁。

如果说“幂”是倍增液,那么“对数”就是缩小灯了。

‖神器对数表

➣用对数来简化计算,具体是如何操作的?

具体的来说,人们是通过查对数表[2]实现的,就拿计算 264×155 来举例子吧。

根据对数的运算法则,我们可以知道:

只要得知对数

的具体值 L,然后再从表中查出与他一一对应的真数 ,那么真数 N 也就是 264×155 的计算结果了。

➣那怎么知道L?log 264 和 log155 都可以在对数表中查得到,查出来之后,只要做简单的加法,L 就获得了。

➣那怎么找到真数 N?

还是通过对数表,知道对数之后,反过来自然就能查到,就像查字典一样。

‖具体操作

从查找资料来看,我国最后一本对数表是1977年出的,后来随着计算机的普及,也就没人用这个玩意儿了。

不过只用文字来描述,还是有点抽象,刚好我这里有一本对数表,那我们就实际的操作一下试试看。过一把瘾。

步骤1:查 log 264 和 log155 的值,计算对数 L

对数表非常厚,一直可以查到五位数的真数,我们要计算的乘数还有三位,其实在前几页就可以找到。

果不其然啊,分别在第一页和第二页,就找到了。

➣190332 是什么意思呢?

这个对数表用的是“常用对数”,只有在遇到10的乘积时,对数才整数,而其它情况大多都是小数。

比如

既然整数部分一下子就看出来了,所以对数表上就没有写,写上去的六位只是小数部分,在这里称作"尾数",前面那个整数叫"指标"。

所以我们就能够得知 155 的对数是 2.19032,264的对数是2.421604. 那么

步骤2:通过 L 查到真数 N,计算出结果

➣那么接下来我们该怎么查到这个对数的真数呢?

我们可以看到,其整数为 4,那么对应的 N,一定是 10000 到 100000 之间的某个数,知道了之后,我们就开始迅速的翻这个表格,翻的过程中你会发现,表格突然有了变化。

➣怎么从六位变成了四位?

因为真数到4位后,其尾数的前两位,相同的就非常多了 ,直接把前两位写在最前面,这样后面就可以省略了 ,就如同我们刚才省略了整数部分(指标)一样。

知道这一点之后,我们就要先找到前两位 61,往后飞快的翻,发现在第67页出现了 61。

那么在慢慢的往后翻一下,看一看我们所需的 1936 在哪里。

这样我们也就得到了,其真数是 40920。计算完毕。

用现代的计算器进行验证[3]

现在用计算器来验证下。

完全正确。

‖对数的名字

这样的话你就理解为什么叫做"对数"了吧,哈哈哈,本来就是一对儿一对儿来用的,想不这么叫也难呢。

▌工程师的象征

‖对数表的故事

第一张对数表是英国人皮纳尔搞出来的,当时他出了一本书叫做《奇妙的对数表的描述》,从那之后对数表就开始大受欢迎了,尤其是在天文学家圈里。因为,只要手里有一张对数表,就可以以极快的速度进行各种运算。

17 世纪初,开普勒用这个神器计算了火星的轨道。没有对数的帮助,他也许就永远无法发现 “开普勒定律”——行星运动三定律,开普勒定律又为牛顿的物理学发现奠定了基础。

可以说,如果没有对数的话,现代科学还会晚诞生很多年。

对数的发明犹如黑夜一道闪电划破长空,没有任何预兆。它未曾借助其他已知的智慧结晶,也未沿袭现存的数学理念,那么突然、孤立而又出乎人们意料地出现了。- 莫尔顿

‖对数尺传奇

对数表运算,是可以非常精确的,但是不得不翻来翻去。

在很多领域,并不需要用到这么高的精度,只需要 2 到 3 位就可以了。

所以人们发明了对数尺,两个尺子之间的滑动代表加减,这样的话连查表都不需要了,唯一需要做的就是读数。

在战场上,对数尺是炮兵们可靠的战友。

NASA用它来把人送上月球。

在上世纪70年代之前,使用对数尺是必备的技能,也是工程师的象征。

曾几何时,工程师们视数尺为传家宝,在自己儿女上大学的时候是要郑重其事地传给他们的。

对数,其实就是信息时代来临之前计算器,它的实用性和重要性不言而喻。

数学发明几乎都是为了简化运算,都是为了偷懒。令你昏昏欲睡符号,数学家和工程师们却深爱着她。在不懂的时候,却强制用就只能是东施效颦了。

对数尺远离我们已经有几十年了,如果你很想领略一下对数尺的魅力,那么可以看一下B站相关视频。

▌作弊用具

现如今,对数尺以这样的方式又回到我们身边,喔~,这真是一种讽刺。

▌我读书少,你别骗我

2014年的时候有个很火的节目,叫《最强大脑》,不知道大家有没有看过。

其中有个人获得了非常多的关注,是一位智障人士,但能在很短的时间内计算或估算一些幂运算,一度被认为是一个数学天才。

我相信,如果你理解对数表的强大之处,你也就不会过于惊讶了;只要背过了对数表中的一些内容,然后再加上一些练习,快速的计算幂和对数并不是什么非常神奇的事情。他的水平比起我们正常人来,确实是高多了,但是数学天才这种说法实在是过誉了,就是在速算界里,比他水平高的人大有人在。[4]

最重要的是,速算并不等于数学。人工快速计算大数,现在已经没有什么实际应用价值了。计算机的出现,彻底把人们从繁琐的计算中解脱出来了,我们为什么还要倒退回去呢?

注释

[1] 幂运算的结果都叫做幂数,但涉及到对数的时候,可能会叫做真数。

[2] 其实最初的两种对数表都不是十进制的,他们的底数都是 1± 很小的小数,分别是比如底数 b = 1+0.0001 或者 b=1-0.0000001。这么做,自然是为了让变化速度尽可能小,以便于计算。

[3] 更多数的情况并不是恰好能够查得到,而是落在两个数之间,如果要求精度比较高的话,根据差再查一下表就行了。

[4] 题目来自《数理化自学丛书》,这一套书是十年动乱之后,高考恢复时,提供给给考生的自学书籍。可以说是一代考生的集体记忆。

[5] 菲利克斯 · 克莱因是 19 世纪末 20 世纪初世界最有影响力的数学学派——哥廷根学派的创始人。同时他也是一位教育家,是现代国际数学教育的奠基人。

参考资料

  1. 《e的故事》
  2. 《图解数学学习法》(“乘法和加法之间的桥梁”相关图片)
  3. 《数学史》
  4. @Tariel

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