提起平行线后，是——两条平行延伸的铁路，黑白斑马线并不陌生。这都是人生中可以观察到的平行线。在文学作品中也可以看到“两个人像平行线一样永远不相交”的描述。

在我们的印象中，平行线具有永远不相交的性质。但是有人说：“平行线在无穷远处有点相交。”

那条平行线之间到底有没有交点？我们能在武汉大学见面吗？

图1平行轨照片来源：百度百科

为了理解这个问题，我们首先要理解平行线永远不相交这个说法是如何产生的。

平行线诞生于平面几何的第五条公理

古希腊数学家、几何之父欧几里德研究几何时，发现有些几何知识通过人类长期反复的实践是正确的，不需要被其他知识引入。所以欧几里德在《几何原本》提出了五大公理[1]，并在此基础上构建了几何体系。这五条公理如下。

公理1:可以从任意一点画到另一点的直线

公理2:有限段可以继续延长。

公理3:以某一点为中心，任何距离都可以画圆。

公理4:所有直角都是相同的

公理5:如果共面内的一条直线和另外两条直线相交，一方的两个内阁和小于两个直角的总和，则这两条直线无限延长后在这一侧相交。

五大公理中的前四条都比较简洁明了，第五条公理相对啰嗦。

根据以后的研究推导，可以看出第五条公理是——天，相当于下面两个主张，三角形的内阁和180度。第二，通过直线的外部，只有一条与这条线不相交的直线。是你，是你。

在第二种说法中，永远不相交的两条线称为平行线。这就是为什么会出现平行线永不相交的说法。因为第五条公理与平行有关，所以这条公理也被称为平行公理。

非欧几何与平行公理

自从提出平面几何的第五条公理以来，数学家们开始思考一个问题。这个公理能被其他公理代替吗？

在19世纪，高斯、瓦切夫斯基、福约等人分别试图使用不同的平行公理。最终，几条直线与已知的直线平行，能够形成两个新的几何体系：洛瓦切夫斯基几何和黎曼几何。

这两个大体系与欧几里得几何不同，所以统称为“非欧洲几何”。

罗瓦切夫斯基几何(简称罗氏几何)认为，通过直线的点可以产生至少两条直线，与已知的直线平行。

图2 Roche几何图片来源：百度图片

图2中所示的双曲面直观地说明了这种情况。在双曲面上，由于空间的弯曲，可以绘制多条线，这些线的外部通过点与已知线平行。

此几何图形也称为“双曲线几何图形”，因为它描述了双曲线空间的情况。

在这样的双曲线空间中，通过线外的一个点，多条线可能与已知线平行。此外，在双曲线空间中创建任意三角形、三角形内部角度和小于平面几何图形内部角度和(180)的三角形。

黎曼几何假设没有与已知线平行的线。罗氏几何考虑双曲面的几何，黎曼几何考虑椭圆空间的几何。

因此，黎曼几何也称为椭圆几何。

图3黎曼几何图片来源：百度图片

图3直观地显示了黎曼几何的特征。椭圆空间中三角形的内部角度小于180度。此外，由于椭圆空间中的所有直线都通过椭圆空间顶部的无限点，因此即使通过直线外部，也无法生成已知直线的平行线。

这也是我们常说的“平行线无穷无尽地相交”一词的来源。

事实上，根据几何的定义，当我们使用黎曼几何研究问题时，所有的线都相交于无穷远点，平行线的概念并不存在。因为在数学的定义中，所谓平行线，应该是同一平面内永远不相交的线。

从这个角度来看，“平行

非欧几何有何应用价值？

平面几何在我们的实际生活中有着非常大的应用价值。小到机械制造，大到地理信息测量，都离不开平面几何的计算。这也是为什么我们从小到大学习的都是平面几何。

那非欧几何就是数学家们拍脑袋拍出来的吗？非欧几何有没有应用价值呢？

答案是肯定的。

非欧几何在特定的空间、特定的问题中具有很高的应用价值。

从上文中我们可以看到，非欧几何主要用来研究双曲空间、椭圆空间这两种非平面空间中的几何学问题。而非平面空间在我们的实际生活中也是广泛存在的。

非平面空间的出现，最常见的有两种情况：

第一种情况是大质量天体导致的空间扭曲。

根据广义相对论的相关理论，在大质量天体附近，空间会发生较为明显的弯曲。在日常生活中我们会发现，如果将一个重球放在支起来的布上，重球就会将布料压弯。

而在宇宙中，大质量天体就是产生压迫的重球，空间结构就是支起来的布料，最后就会像图4一样，在大质量天体的周围，产生一定的空间弯曲。

图4 大质量天体产生明显空间弯曲 图片来源：百家号

在这样的弯曲空间中进行宇宙航行时，平面几何的相关知识就不再适用，反而是非欧几何有了用武之地。单个天体产生的空间弯曲接近椭圆面，而多个天体则可能在交界区域产生接近于双曲面的弯曲空间。

如果人类有一天迈向宇宙的星辰大海，根据非欧几何计算清楚弯曲空间中的几何关系，是实现宇宙航行必不可少的技术。

第二种非平面空间是生存平面本身存在易忽视的曲率。

我们生活的地球，其实本身就是一个椭球面。当我们在太空中观察地球时，很容易发现地球表面存在弯曲。这时候对于地球中几何关系，就可以通过空间立体平面几何进行分析。

但是如果我们只在大地上进行观测，无法获得太空中的视角，那地球表面这个二维空间中的几何关系，其实就符合椭圆几何的相关性质。

基于地球表面的这种特点，黎曼几何可以被用于地球表面的度量之中。通过基于黎曼几何的方法，对于地球表面的测地线进行研究，“测地几何”这一门学科就建立起来了。

因此，在地球表面研究地理信息、航空航海等问题时，非欧几何中的黎曼几何就有着很高的应用价值。

最后，回到我们最开始的问题，平行线本身的数学定义就是没有交点的，平行线也不会在无穷远点相遇。只是在黎曼几何中，两条看上去“平行”的直线会在无穷远点相遇，但它们实质上不属于平行线。

虽然平行线注定不会相遇，但是对平行线和平面几何第五公理的研究，却产生了罗氏几何、黎曼几何等非欧几里得几何学，并在各方各面有着广泛的应用。数学研究很多时候都是这样，看上去奇思妙想的“无用之举”，最后反而在实际生活中找到了妙用。

参考文献：

[1]欧几里得著, 兰纪正, 朱恩宽. 欧几里得几何原本[M]. 陕西科学技术出版社, 2003

出品：科普中国

作者：饭堂科普
监制：中国科学院计算机网络信息中心

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