罗夫·兰道尔
在人类文明史上，存在一些基本的理论概念。一旦弄清这些基本概念之间的联系，科技乃至人类文明就将出现飞跃。比如爱因斯坦搞清楚了质量与能量的关系后，人类就制造出了原子弹，爱因斯坦也成为科学史上巨人。
那么，如果有人阐明了信息与能量的关系，他是否也会青史留名？答案是肯定的，这个人就是罗夫·兰道尔（Rolf Landauer）。
撰文 | 张华
来自IBM公司的一篇论文
1927年，兰道尔出生在德国斯图加特的一个犹太人家庭。1934年，兰道尔的父亲去世后，母亲带着他迁居到美国纽约生活。1945年，18岁的兰道尔从哈佛大学毕业后，在美国海军服了18个月的兵役。兵役结束后，兰道尔返回哈佛大学攻读博士，1950年拿到博士学位。
1952年，兰道尔加入IBM公司工作，成为一个上班族。他从来没跳过槽，生活看上去波澜不惊。但到了1961年，兰道尔在《IBM研究通讯》上发表了一篇令他青史留名的论文，这篇论文的题目是《不可逆性与计算过程中的热量产生问题》。在这篇论文中，兰道尔指出了一件以前从来没人发现的事情：经典计算机要擦除一个经典比特的信息，其所消耗的最小能量是kT ln2（k 是玻尔兹曼常数，T是经典计算机所处的外界物理环境的温度）。
兰道尔是怎么得到这个结论的？为了搞清楚这个问题，我们需要对信息多一些了解。
什么是信息？
在信息论的鼻祖香农看来，信息其实是对不确定性的消除。比如一个女生不确定一个男生是不是喜欢自己，而这男生对女生说：“今天晚上我请你看电影吧？”这句话里面就是包含信息的，因为这句话在一定程度上消除了不确定性。
但是，如何度量信息的多少呢？这就需要用到一些数学了。
1948年，香农提出了“信息熵”的概念，信息熵解决了信息的度量问题。信息熵的定义如下（其中pi为每种可能性的概率）：
这个公式可以对照物理学中著名的热力学熵公式：
这两个公式的区别有两点：首先是两者差了一个玻尔兹曼常数K；其次是求对数的时候，信息熵是以2为底的，而热力学熵是以自然常数e为底的。
我们可以用以下例子来理解信息熵：考试时，有一道选择题，你对4个选项ABCD都不确定。那么，这时每个选项正确的概率是25%。于是，这时的信息熵就可以这样用以上提到的信息熵公式来计算。
把四个pi都等于25%代入以上那个公式，就可以算出这个时候的信息熵等于2比特。
这个时候，考场里进来一个人，这个人是你非常信任的张老师。张老师突然告诉你说：“选项A与选项B肯定不对，不用选了。”张老师说的话是给你信息了。那么，老师的话里包含了多少信息呢？
现在对你来说，选项AB可以排除，那么只剩下选项C与D了。对你来说，C与D各自正确的概率是50%。
所以，这时你把两个pi都等于50%代入，可以得到的信息熵等于1比特。你会发现，信息熵减少了。
所以，对你来说，张老师的话包含的信息量是1比特，因为2-1=1（这里涉及到一个信任问题，如果你不相信张老师的话，那么张老师的话对你来说并不包含信息）。
从信息熵到热力学熵
有了香农的信息熵以后，可以把它与物理学中的热力学熵联系起来。
在这里，需要使用高中数学中求对数的换底公式，在求对数的时候，信息熵是以2为底的，而热力学熵是以自然常数为底的，统一换成以自然常数为底，两者相差一个ln2。
所以，按照物理学的理解，3比特的信息熵，对应的热力学熵就是3kln2 。在这里K是玻尔兹曼常数，这个常数给出了信息熵与热力学熵的转化。用公式表示就是：
这其实也是当年香农考虑信息熵的时候的出发点，他正是通过玻尔兹曼的热力学熵来类比信息论中的熵的。只不过在信息论中不需要玻尔兹曼常数，所以他当年在定义信息熵的时候，把玻尔兹曼常数省略了。
而兰道尔要考虑的问题则更进了一步，他需要考虑一个真实的物理过程。在这个过程中如果想要用物理的手段擦除1比特的信息，需要多少能量呢？
物理图像
兰道尔是用热力学与统计力学的思维来思考这个擦除信息的过程。他的思考本质上，就是物理学家非常熟悉的麦克斯韦妖。
英国物理学家麦克斯韦假设有一个密闭的容器，由一个没有摩擦力的隔板分成左右两部分，隔板上是一个由麦克斯韦妖控制的阀门。起初，箱子两侧温度相同，当高速分子由左向右运动或慢速分子由右向左运动时，小妖就打开阀门令其通过；而当高速分子由右向左运动或慢速分子由左向右运动时，小妖就关闭阀门。
久而久之，高速分子都跑到了右区，慢速分子都跑到了左区，于是左边的温度明显降低，而右区的温度明显升高。这样，因为麦克斯韦妖的存在，这个系统内出现了温度差，其有序性大大增加，熵就大大减少了。
很明显，如果麦克斯韦妖存在，那么它可以使得热力学系统由温度的平衡态转变成了不平衡态。但这是有代价的。麦克斯韦妖需要付出什么代价呢？麦克斯韦妖需要获得信息，它必须读取每个气体分子的速度，然后做出判断，判断这个分子的速度是快还是慢（这是一个典型的是非判断）。这个过程要求麦克斯韦妖必须具有智商（也就是具有信息处理的能力）。
所以，从这个物理图像中很容易看出，信息熵与热力学熵本质上是等价的。换句话说就是，气体热力学熵的减少，其实是以麦克斯韦妖自身的信息熵增加为代价的。麦克斯韦妖每读取一个分子的速度快慢，气体分子的信息熵降低1比特，而麦克斯韦妖自身信息熵就会增加1比特，最后麦克斯韦妖的大脑就会很累，因为它的大脑储存了大量的信息熵。
信息与能量的联系
上面的讨论可以让兰道尔洞察出信息与能量的关系。
在物理上，能量对热力学熵（内含玻尔兹曼常数）的导数等于温度
道尔构造了一个模型，来解释这个问题。为了叙述方便，我们把兰道尔的思想翻译为如下模型。
首先，我们构造一个盒子，把这个盒子分为左右两部分。然后假设有一个气体分子，如果我们不确定它到底是在左边还是右边，那么与本文一开始写到的做选择题的情况类似，相当于有两个选项（选左边或者右边），这时的信息熵是1比特。
现在，假设在箱子的右边有一个活塞，活塞可以通过等温压缩把气体分子推到左边。在这个过程结束后，我们能够确定气体分子一定处于盒子的左边，所以，气体分子的信息熵就等于0。
因此，从信息论的角度来说，在活塞运动的过程中，相当于擦除了1比特的信息。而从物理学的角度来说，活塞的运动是需要消耗能量的，在等温压缩的过程中，可以通过本小节的微分公式算出，活塞做了kT ln2 的功。这就是兰道尔原理的基本思想：经典计算机要擦除一个经典比特，其所消耗的最小能量是kT ln2。当然兰道尔用了比较长的篇幅来论证这个能量是最小的，我们在这里就不展开论证了。
信息熵是香农在1948年提出来的，而且很快就成了信息科学的主流科学术语。目前5G时代的计算网速的理论依据也是以信息熵为基础的，香农的公式刻画了信息传递的效率与带宽以及噪声的关系。毫无疑问，香农奠定了信息论的基础。
而1960年兰道尔需要考虑的问题是本质上是信息熵与能量到底是什么关系。他考虑的问题看起来很奇怪，在他之前确实没有人考虑过这个问题：如果我们想要擦除1比特的信息，最少需要消耗多少能量？从信息论的角度来说，比如给你一个U盘，U盘里存了一张照片，你要删除这张照片（不能毁灭U盘），你肯定要给U盘接上电脑，那么电脑肯定要花电费，必须要消耗能量才能把这个照片删除。因此，兰道尔原理也解释了电脑在工作的时候为什么会发热，因为电脑一直在擦除信息。其实，对于人脑也一样，人脑也是一个内存，如果要忘记某件事某个人，也必须要消耗能量。因此，兰道尔的思想还是很有价值的。
原始论文：
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编辑：Tim