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三句数学名言

科学家需要人文素养，那反过来，人文学家是不是也需要有点科学 （尤其是数学）素养呢？

不信，请先试着读一读下面的三句数学家名言，你get到要点了吗？

给我五个系数，我将画出一头大象；给我六个系数，大象将会摇动尾巴。

——柯西

如果谁不知道正方形的对角线同边是不可通约的量，那他就不值得人的称号。

——柏拉图

上帝创造了整数，其余的数都是人造的。

——克罗内克

读完后，不要急着往下看，先细细品一下。

名言解析

1. 给我五个系数，我将画出一头大象；给我六个系数，大象将会摇动尾巴。

这一句名言出自著名数学家柯西。柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789—1857）是法国数学家，在数学领域有很高的造诣。很多数学的定理和公式都是以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式。柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引入极限概念，并以极限为基础，建立了逻辑清晰的分析体系。

柯西的这句名言堪称最晦涩的数学名言，没有较高的数学素养是很难读懂其内涵的。

大象？大象摇尾巴？千万不要被这两个带偏了。这句名言里的重点是“系数”。系数与多项式函数相关，而大象和大象摇尾巴则虚指复杂的曲线。

在多项式函数中，一次函数需要两个系数，二次函数需要三个系数，五个系数可以表示四次函数，能表达复杂的曲线；如果给出六个系数，就可以勾画更复杂的曲线。这里的大象和大象尾巴都是虚指，不要深究到底能不能表达出来。

所以，这句话直接表达的意思是： 只要数学参数足够多，没有什么是表达不出来的。 但同时，也有人作了反向解读，即 ：大道至简，有智慧的人能用简单的式子表达深刻的本质，不要老喜欢用一堆复杂的让人看不懂的公式来为现实建模。

2. 如果谁不知道正方形的对角线同边是不可通约的量，那他就不值得人的称号。

这句名言出自希腊三哲之一的柏拉图。这句话的关键词是“不可通约”。

可公度量亦称可通约量，是数学的基本概念之一。对于两个正量A与B，若存在第三个量C，使 A=pC, B=qC 同时成立，这里p, q为自然数，则称量A与量B可公度或可通约，且称C是A与B的一个公度，这时称A与B是可公度量或可通约量。若不存在自然数p，q与量C使A=pC，B=qC成立，则称A与B是不可公度或不可通约，这时A，B是不可公度量或不可通约量。可以看到，如果A,B可公度，那么可以表示成两个自然数之比。

柏拉图的这句话表明，正方形的对角线与边之比不能表示成两个正整数之比，即不是有理数。这个结论可以通过下面的反证法予以证明。

这句名言其实还有深刻的数学背景，与第一次数学危机密切相关。

第一次数学危机发生于约公元前400年左右的古希腊时期，是数学历史上的一次重要事件，最后以无理数定义的出现做为结束标志。

古希腊时期的毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”的理念。他们认为，任何数都可以表示为两个整数的商。这个观点的几何解释就是直线上的任何一个点都可以用一个有理数来表示。

然而，毕达哥拉斯学派里面有一个学生，叫做希帕索斯。他发现毕达哥拉斯定理（即勾股定理）和所有的数都是有理数这一论断存在矛盾。具体地，他发现一个边长为1的等腰直角三角形的斜边的长度无法表示成有理数（即两个整数之比）。这一不可公度的发现使毕达哥拉斯学派的领导人变得惶恐，他们认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传。希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，他在一条海船上还是遇到了俩个毕氏门徒，被他们残忍地杀害。希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待。有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上事实上存在着无限多不能用有理数表示的“孔隙”。“不可公度量”的发现与“芝诺悖论”一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后的数学发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，并且推动了公理几何学和逻辑学的发展。

3. 上帝创造了整数，其余的数都是人造的。

这句名言出自德国数学家克罗内克。这句话的字面没有什么晦涩的内容，但细品一下，就会发现其中大有说法。为什么说整数是上帝创造的，而其它的都是人造的？

其实，这句名言涉及数的发展和扩充历史。 在人类发展的历史上，数的概念的扩充是一个循序渐进的过程。

整数是用于计数的，位于数系的核心。克罗内克这里说的整数，应该是指自然数。自然数，顾名思义，是大自然的客观存在。自然数自宇宙诞生之日起就存在，等待具有智慧的生物去发现它并表示它，正如扎西拉姆·多多的一首歌曲《班扎古鲁白玛的沉默》中的歌词所说“你见，或者不见我，我就在那里”。数数是人类诞生起就面临的最基本任务，不论在地球的哪个角落，虽然不同的文明和国家对数字的表示方式可能千差万别，但终究面临着要判断自己早上放出去的牛羊晚上有没有全部归来的问题。所以，自然数不是人造的，人类只是给了它一个表示符号而已。不同的文明早期发明了不同的计数系统用于计数，有十进制的，也有六十进制的。同一个自然数，在不同的计数系统里可以有不同的表示，但它的内涵都一样。

数系的每一次扩充，都是人们为了解决原来数系中的某些矛盾，随之而来的是数的应用范围的扩大。自然数对加法封闭，但对减法不封闭，因此引入了负数。整数系对乘法封闭，但对除法不封闭，因此引入了有理数。任何有理数都可以表示为两个整数之比，解决了整数集合对除法不封闭的问题。无理数解决了有些长度不可公度（即不能表示成两个整数之比）的矛盾。虚数则解决了负数不能开方的矛盾。

所以，这三句名言，你读懂了吗？

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作者简介：昍爸，中科院计算机博士，曾获初中和高中全国数学奥林匹克联赛一等奖，江苏赛区第一名，高考数学满分。现为大学计算机专业教授，平时注重提升孩子的数学和计算思维，开设有公号xuanbamath。