古希腊数学

古希腊数学指用希腊文写成，从泰勒斯以来（约公元前600年）到公元后529年雅典学院关闭这段时间的数学成果。

希腊数学家居住在整个东地中海，从意大利到北非的地带，但拥有相同的文化和语言。亚历山大大帝之后的希腊数学，有时也被称作希腊化数学。

古希腊数学比其他的早期文明发展出的数学更加先进复杂。古希腊数学之前存留下来的记录都表明了归纳推理的应用，也就是通过重复的观察来建立经验法则。但希腊数学正相反，使用演绎推理。希腊人使用逻辑从定义和公理中推导出结论，并在数学上严谨地证明它们。

泰勒斯和毕达哥拉斯

古希腊数学被认为是源于泰勒斯（公元前624到546年）和毕达哥拉斯（公元前582到507年）。虽然他们的影响程度依然是有争议的，但他们或许受到了埃及和巴比伦数学的启发。根据传说，毕达哥拉斯曾前往埃及向祭司学习数学、几何以及天文学。

泰勒斯使用几何学来解决问题，例如计算金字塔的高度，以及船只到海岸的距离。他也被认为是将演绎推理应用到几何学的第一人。由于推导出了泰勒斯定理的四个推论，他被誉为是第一个真正的数学家，以及第一个有署名的数学发现。

毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学院，它的原则是数学统治着宇宙，并 有“万物皆数”的格言。毕达哥拉斯是“数学”这个词语的提出者，也是因兴趣而研究数学的先行者。毕达哥拉斯猜想的最早证明就归功于毕达哥拉斯学派，尽管对整个定理的表述已经有很长时间的历史了。他们也证明了无理数的存在。

毕达哥拉斯定理。此定理的最早证明通常归功于毕达哥拉斯。

柏拉图

柏拉图在数学史上善于启发和指导他人，有着重要地位。他创立的雅典柏拉图学园成为了公元4世纪时世界数学的中心，也是当时一流数学家的母校，比如欧多·克索斯。

柏拉图也探讨了数学的基础，澄清了一些定义（例如直线是“不断延伸的长度”），并对前提做了重新整理。数学分析的方法也同样归功于柏拉图，一个计算勾股数的公式就以他的名字命名。

欧多克索斯

欧多克索斯（公元前408到355年）发展了穷竭法，是现代积分法的前身；应用了比例论避免了无限小数所遇到的问题。前者使计算曲线图形的面积和体 积成为可能，后者使后来的几何学家极大推动了几何学的发展。虽然他并没有具体的数学发现，但亚里士多德认为他是把数学建立在逻辑基础上的功臣。

欧几里得和《几何原本》

在公元前3世纪，数学教育和研究的中心在亚历山大港的缪斯神殿（后世也称为亚历山大博物馆）。这是欧几里得讲课和写下《几何原本》的地方，后者被认为是历史上最成功和最具有 影响力的教科书。

《几何原本》残片

《几何原本》用公理化方法引入了数学的严谨性，并且其中最早的“定义”、“公理”、“定理”、“证明”的格式至今依然在数学中使用。尽管绝大多数《几何原本》中的内容都是已知的，但是欧几里得将他们组合成了条理分明的一套逻辑框架体系。《几何原本》因在20世纪中期前教导了所有的西方人而闻名，其中的内容依然在今天的几何课上讲授。

除了欧几里得几何中令人熟悉的定理以外，《几何原本》还是当时所有的数学科目的入门课本，例如数论、代数和立体几何，包括了2的平方根是无理数，以及素数有无穷多个的证明。欧几里得的著作广泛，例如圆锥曲线、光学、球面几何学和力学，但只有一半得以保存下来。

阿基米德

叙拉古的阿基米德一致被认为是古代最伟大的数学家，他使用了穷竭法求无穷级数的和，计算出了抛物线下的面积，这种方法在现代的微积分课堂上并不陌生。

他还显示了通过穷竭法可以将pi的值计算到任何想要的精度，他还求得了在当时更精确的pi值，在 3 10/71 < pi < 3 10/70 之间。

阿基米德使用穷竭法估算圆周率的值

他还讲解了后世以他的名字命名的阿基米德螺线，发现了旋转曲面的面积公式（抛物面，椭球面和双曲面），以及一个可以灵活表示极大数字的系统。

尽管他在物理和许多高级机械装置上的贡献也广为人知，但他本人更看中自己的数学原则和思想的价值。他认为自己最伟大的成就，是发现球形的表面 积和体积公式，也就是证明了球外接圆锥的表面积和体积是该圆锥的2/3。

阿波罗尼奥斯与圆锥曲线

阿波罗尼奥斯最重大的贡献是研究圆锥曲线，表明了通过改变平面截断二次锥面的角度，可以获得全部三种圆锥曲线。

他创造了我们如今使用的三个术语：“抛物线”（英语：parabola，即齐曲线）、“椭圆”（英语：ellipse，即亏曲线）和“双曲线”（英语：hyperbola，即超曲线）。他的《圆锥》是古代最著名和至今保存最完好的著作之一。在书中，他推出的许多定理随后被证明是数学家和研究行星运动的天文学家的无价之宝，例如艾萨克·牛顿。

阿波罗尼奥斯在圆锥曲线的研究上做出了重大的贡献

虽然无论是阿波罗尼奥斯本人，还是其它的希腊数学家都没有迈入解析几何的领域，但阿波罗尼奥斯对某些椭圆曲 线的处理方式已经和现代方法相似，他的一些著作也预示了1800年以后笛卡儿解析几何的出现。

在大概在同一时间，埃拉托斯特尼发明了寻找素数的埃拉托斯特尼筛法。

黄金时代之后

公元前3世纪，通常认为是希腊数学的黄金时代，在此之后，就再也没有那么多纯数学的研究成果出现了。尽管如此，这之后的应用数学得到的很大的发展，例如最有名的三角函数很大程度上是为了满足天文学的需要。喜帕恰斯被认为是三角函数的创始人，他编制了第一张三角函数表，360度圆周的系统性应用也是自他开始。

亚历山大港的海伦被归功于发现通过三边计算三角形面积的海伦公式，也是认识到负数可能开平方的第一人。

亚历山大港的梅涅劳斯提出了梅涅劳斯定理，是球面几何的先驱。

古代最完整和最具影响力的三角函数著作是托勒密的《天文学大乘》，这是天文学的里程碑著作，其中的三角函数表被随后的天文学家继续使用了一千年。利用三角法求圆内接四边形边长的托勒密定理也归功于他本人，托勒密精确计算出了圆周率为 3.1416，这直到中世纪欧洲都是很精确的（中国除外）。

白银时代

在托勒密去世后一个死气沉沉的时段过去了，接下来的公元250到公元350年，有时被称为希腊数学的“白银时代”。

在这个时段，丢番图在代数，特别是不定分析（即“丢番图分析”）方面，也作出了令人瞩目的贡献。如今，丢番图方程和丢番图逼近是一个重要的研究领域。丢番图的主要作品是《算术》，其中包括了150 个代数问题，研究了方程，特别是不定方程的解析解。

丢番图所著《算术》的1621版封面

《算术》对随后的数学家产生了巨大的影响，例如皮埃尔·德·费马就是在阅读《算术》时，尝试一般化其中的问题而想到了费马大定理。丢番图对数学符号的贡献也很大，《算术》是第一个系统性使用代数符号和syncopation（简记法）的实例。

第一位有历史记录的女数学家是希帕提娅。她继承了父亲的职位，成为大图书馆的馆长，并且写了很多关于应用数学的著作。因为亚里山大港的基督教社群认为她引起了一起政治纠纷，她便被残忍杀害。