在计算机图形学和计算机辅助设计（CAD）中，三维物体通常由其外表面的轮廓表示。计算机将这些形状存储为"薄壳"，为动画人物的皮肤轮廓建模，但不包括下面的肉体。这种建模决定使得存储和操作三维形状变得有效，但它可能发展出意想不到的人工制品。

例如，一个动画人物的手在弯曲手指时可能会皱缩--这种运动类似于一个空的橡胶手套的变形方式，而不是充满骨骼、肌腱和肌肉的手的运动。在开发映射算法时，这些差异尤其成问题，因为映射算法可以自动找到不同形状之间的关系。

为了解决这些缺陷，麻省理工学院的研究人员开发了一种方法，通过将体积映射到体积，而不是将表面映射到表面来对齐三维形状。他们的技术将形状表示为四面体网格，包括三维物体内部的质量。他们的算法决定如何移动和拉伸源形状中的四面体的角，使其与目标形状对齐。

因为它包含了体积信息，研究人员的技术能够更好地对物体的细小部分进行建模，避免了基于表面的映射的典型扭曲和反转。

"从表面到体积的转换将橡胶手套延伸到整个手部。我们的方法使几何映射更接近物理现实，"电气工程和计算机科学（EECS）研究生Mazdak Abulnaga说，他是关于这种映射技术论文的主要作者。

研究人员的算法特别适合于具有挑战性的形状对应问题，例如将光滑的兔子映射到由立方体组成的兔子，如图所示。

Abulnaga和他的合作者开发的方法能够比基线方法更有效地对齐形状，带来高质量的形状图，并且比竞争者的替代方案更少失真。他们的算法特别适合于具有挑战性的映射问题，其中输入的形状在几何上是不同的，例如将光滑的兔子映射到由立方体组成的乐高式兔子。

该技术在许多图形应用中都很有用。例如，它可以用来将以前的三维动画人物的动作转移到一个新的三维模型或扫描上。同样的算法可以将纹理、注释和物理属性从一个三维形状转移到另一个，不仅可以应用于视觉计算，还可以用于计算制造和工程。

与Abulnaga一起撰写论文的还有Oded Stein，他是麻省理工学院的前博士后，现在在南加州大学任教；Polina Golland，EECS的Sunlin和Priscilla Chou教授，麻省理工学院计算机科学和人工智能实验室（CSAIL）的主要研究员，以及医学视觉小组的负责人；Justin Solomon，EECS的副教授，CSAIL几何数据处理小组的负责人。该研究将在ACM SIGGRAPH会议上发表。

塑造一种算法

Abulnaga开始这个项目时，对基于表面的算法进行了扩展，使其能够对形状进行体积映射，但每次尝试都失败了，或者产生了令人难以置信的地图。该团队很快意识到，需要新的数学和算法来解决体积映射的问题。

大多数映射算法的工作原理是试图最小化"能量"，它量化了一个形状在被位移、拉伸、挤压和剪切到另一个形状时的变形程度。这些能量通常是从物理学中借用的，物理学使用类似的方程来模拟明胶等弹性材料的运动。

即使Abulnaga改进了他的映射算法中的能量以更好地模拟体积物理学，该方法也没有产生有用的匹配。他的团队意识到这种失败的一个原因是许多物理能量--以及大多数映射算法--缺乏对称性。

在新的工作中，对称方法并不关心形状以何种顺序输入；映射的"源"和"目标"之间没有区别。例如，将一匹马映射到一只长颈鹿上应该产生与将长颈鹿映射到一匹马上相同的匹配结果。但是对于许多映射算法来说，选择错误的形状作为源或目标会导致更糟糕的结果。这种影响在体积测量的情况下甚至更加明显。

研究人员记录了大多数映射算法如何不使用对称的能量。"如果你为你的算法选择了正确的能量，它可以给你提供更可实现的地图，"Abulnaga解释说。

形状排列中使用的典型能量只被设计为在一个方向上映射。如果研究人员试图双向应用这些能量以创建一个对称的地图，那么这些能量的行为就不再是预期的。这些能量在应用于表面和体积时也有不同的表现。

基于这些发现，Abulnaga和他的合作者创建了一个数学框架，研究人员可以用它来观察不同的能量将如何表现，并确定他们应该选择哪一种来创建两个物体之间的对称图。利用这个框架，他们建立了一个映射算法，将两个物体的能量函数结合起来，以保证整个对称性。

用户向该算法提供了两个表示为四面体网格的形状。然后，该算法计算出两个双向的地图，从一个形状到另一个形状，再返回。这些地图显示了每个四面体的每个角应该在哪里移动以匹配形状。

"能量是这个映射过程的基石。他说："模型试图对准两个形状，而能量防止它做出意想不到的对准。

实现准确的对准

当研究人员测试他们的方法时，它创建的地图能更好地对齐形状对，与其他基于体积的方法相比，质量更高，失真更少。他们还表明，即使只关注外表面的地图，使用体积信息也能产生更准确的地图。

然而，在一些情况下，他们的方法也有不足之处。例如，当形状排列需要大量的体积变化时，例如将一个内部有填充物的形状映射到一个内部有空腔的形状，该算法就会陷入困境。

除了解决这一局限性外，研究人员还希望继续优化该算法，以减少其花费的时间。研究人员还在努力将这种方法扩展到医疗应用中，除了形状之外，还引入了核磁共振信号。这可以帮助弥合医学计算机视觉和计算机图形中使用的映射方法。

加州大学戴维斯分校数学系杰出教授乔尔-哈斯（Joel Haas）说："对对称性的理论分析推动了这一算法的发展，并表明对称形状比较方法在比较和对齐物体方面往往有更好的性能，"他并没有参与这项工作。"完全基于表面数据的排列可能会导致体积的坍塌，就像'跑路者'动画片中的Wile E. Coyote偶尔发生的那样。一系列的实验表明，新算法在对齐一对三维物体时，在保持内部一致性方面有显著的成功。它在整个内部以及边界上都给出了良好的对应关系"。