角平分线的性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将角分成两个相等的角的线段。这条线段在几何图形中有一些重要的性质，可以应用于各种几何问题中。
性质一：角平分线上的点到两边的距离相等设AD是三角形ABC的角A的平分线，点D在BC上。则有BD/DC=AB/AC，即角A的平分线将对边BC平分。
这个性质可以用相似三角形来证明。设两个三角形ABD和ACD，它们有一个共边AD，且角ABD=角ACD=（1/2）角A。根据正弦定理，有sin(A/2)/sin(B) = sin(A/2)/sin(C)，即sin(B)=sin(C)，所以BD/AB=sin(B)/sin(A/2)，DC/AC=sin(C)/sin(A/2)。根据比值定理，有BD/DC=AB/AC，这就证明了角平分线上的点到两边的距离相等。
性质二：角平分线将对边分成一定比例与上面的证明类似，我们可以证明，如果平分线上的点到两边的距离相等，那么它们在对边上所分的线段的比例也相等。
设角A的平分线AD将对边BC分成BD和DC两段，且BD/DC=AB/AC，则有AB/BD=AC/DC，即角A的平分线把对边BC平分了。
性质三：角平分线与三角形的外接圆交于圆上点我们先证明，如果一个点在三角形的外接圆上，那么它到三角形的各个顶点所对的角的角平分线上的垂线相交于一点。这个点就是三角形外接圆的圆心C。
设垂线交于点D、E、F分别在AB、AC、BC上，交于点O。根据正弦定理，有sinB/sinC=BD/CD=sinBOC/sinA，sinC/sinA=CE/AE=sinAOC/sinB。两式联立，消去sinA和sinB得sinCOC=2sinA/2sinB/2=1，即角COC=90度。
那么反过来，如果一个点在角平分线与外接圆的交点上，我们可以证明它也在外接圆上。这个证明可以用菱形的性质来证明。因为OD=OE，所以ODE是一个等边三角形，从而OE垂直于CD，OD垂直于BD。因为CD和BD都是切线，所以OD和OE都是外心O的半径，因此O也在角平分线和外接圆的交点上。
综上所述，角平分线的性质非常重要，可以在各种几何证明中起到关键作用。